Главная
Обозначения
Шутки
Форум
Об авторах
Ссылки
Связь
Карта сайта
Поиск по сайту
   
  План занятий
 
 Учебное пособие (теория)
Задачи на разные темы
Варианты контрольных
www.bymath.net Учебное пособие - Арифметика Учебное пособие - Алгебра Учебное пособие - Геометрия Учебное пособие - Тригонометрия Учебное пособие - Функции и графики Учебное пособие - Основы анализа Учебное пособие - Множества Учебное пособие - Вероятность Учебное пособие - Аналитическая геометрия Выбор темы задач Выбор варианта контрольной Правила Прайс-лист Регистрация

Основные методы решения уравнений

 

Что такое решение уравнения?

Тождественное преобразование. Основные

виды тождественных преобразований.

Посторонний корень. Потеря корня.

 

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. Основные тождественные преобразования следующие:

   1.

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) 2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным:  9x2 + 12x + 4 = 15x + 10 .


   2.

Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »:  9x2 + 12x + 4 15x – 10 = 0, после чего получим:  9x2 3x – 6 = 0 .

   3.

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как  новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.

 

П р и м е р .  Уравнение  x1 = 0  имеет единственный корень x = 1.

                      Умножив обе его части на  x3 , мы получим уравнение

                      ( x1 )( x3 ) = 0,  у которого два корня:  x = 1 и  x = 3.

                      Последнее значение не является корнем заданного уравнения 

                       x1 = 0.  Это так называемый посторонний корень.  

                      И наоборот, деление может привести к потере корня. Так

                      в нашем случае, если ( x1 )( x3 ) = 0 является исходным

                      уравнением, то корень  x = 3  будет потерян при делении

                      обеих частей уравнения на  x 3 .

 

В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:

3x2 –  x – 2 = 0 .

Это уравнение равносильно исходному:

( 3x+ 2 )2 = 15x + 10 .

   4.

Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени. Необходимо помнить, что:

 

        а)  возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;

 

        б)  неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.



 

П р и м е р ы .   Уравнение  7x = 35  имеет единственный корень x = 5 .  

                           Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

                           уравнение:

                                                              49x2 = 1225 .

 

                           имеющее два корня:  x = 5  и  x =5. Последнее значение

                           является посторонним корнем.

                           Неправильное извлечение квадратного корня из обеих

                           частей уравнения  49x2 = 1225 даёт в результате 7x = 35,

                           и мы теряем корень  x =5.

                           Правильное извлечение квадратного корня приводит к

                           уравнению: | 7x | = 35,  а следовательно, к двум случаям: 

 

                             1)  7x = 35, тогда  x = 5 ;      2)  7x = 35, тогда  x =5 .

 

                           Следовательно, при правильном извлечении квадратного

                           корня мы не теряем корней уравнения.

                           Что значит правильно извлечь корень? Здесь мы встречаемся

                           с очень важным понятием арифметического корня

                           (см. параграф "Арифметический корень").

Назад



| | Главная | Об авторах | Ссылки | Связь |

Copyright © 2004 - 2012 Др. Юрий Беренгард.  All rights reserved.