Главная
Обозначения
Шутки
Форум
Об авторах
Ссылки
Связь
Карта сайта
Поиск по сайту
   
  План занятий
 
 Учебное пособие (теория)
Задачи на разные темы
Варианты контрольных
www.bymath.net Учебное пособие - Арифметика Учебное пособие - Алгебра Учебное пособие - Геометрия Учебное пособие - Тригонометрия Учебное пособие - Функции и графики Учебное пособие - Основы анализа Учебное пособие - Множества Учебное пособие - Вероятность Учебное пособие - Аналитическая геометрия Выбор темы задач Выбор варианта контрольной Правила Прайс-лист Регистрация

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

 

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Основные  методы решения: подстановка, сложение или вычитание.

Определители второго порядка. Правило Крамера.

Исследование решений системы уравнений.

 

 

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид: 

 

 

где  a,  b,  c,  d,  e,  f – заданные числа;  x,  y – неизвестные. Числа   a,  b,  d,  e  коэффициенты при неизвестных; c, f свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными  методами.

Метод подстановки. 

1)  Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например  x, через коэффициенты и другое неизвестное  y:

                                                 x = ( c – by ) / a .                             (2)

2)  Подставляем во второе уравнение вместо x :

                                           d ( c by ) / a + ey = f .

3)  Решая последнее уравнение, находим  y :

                                                  y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).

4)  Подставляем это значение вместо y  в выражение (2) :

                                                 x = ( ce bf ) / ( ae bd ) .

П р и м е р .  Решить систему уравнений:

                                                  

                      Из первого уравнения выразим  х  через коэффициенты и  y :

 

                                                            x = ( 2y + 4 ) / 3 .

 

                      Подставляем это выражение во второе уравнение и находим  y :

 

                                                       ( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 ,  откуда   y = 1 .

                                

                      Теперь находим  х, подставляя найденное значение вместо  в

                      выражение для  х x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда   x = 2 .

 

 Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.            

1)  Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на  (– d ), а обе части 2-го уравнения на  а  и складываем их:

                                         

    Отсюда получаем: y = ( afcd ) / ( aebd ).  

2)  Подставляем найденное для  y  значение в любое уравнение системы (1):  

                                 ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.

3)  Находим другое неизвестное:   x = ( cebf ) / ( aebd ).

 

 

П р и м е р .  Решить систему уравнений:

                                           

                      методом сложения или вычитания.            

                      Умножаем первое уравнение на  –1, второе – на 3 и складываем их:

                                              

                      отсюда  y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение

                      (а в первое можно?):  3x + 9 = 15, отсюда  x = 2.

 

Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

 

                                                          x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) ,

                                                                                                                       (3)                    

                                                          y = ( af – cd ) / ( ae – bd ) .

         

Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:

             ,  который будет обозначать выражение:  psqr

Это выражение получается перекрёстным умножением чисел  p, q, r, s :

и последующим вычитанием одного произведения из другого: psqr. Знак « + » берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак  « – » - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,

                                                      
Выражение      называется определителем второго порядка.

Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):

Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

 П р и м е р .  Решить систему уравнений

                                     

                        используя правило Крамера.

Р е ш е н и е .  Здесь   a = 1,  b = 1,  c = 12,  d = 2,  e =3,   f = 14 .

                      

Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:

 

1)  коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:   a : d b : e ,

в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);

2)  все коэффициенты уравнений пропорциональны:   a : d = b : e = c : f ,

в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух.

П р и м е р .  В системе уравнений

                                               

                      

                          

                       и эта система уравнений имеет бесконечное множество решений. 

                       Разделив первое уравнение на 2, а второе – на 3, мы получим два

                       одинаковых уравнения:

                                                                 

                       т.е. фактически одно уравнение с двумя неизвестными, у которого

                       бесконечное множество решений.

 

3)  коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членамa: d = b: e c: f

в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.

П р и м е р .  В системе уравнений 

                     

                      но отношение свободных членов  7 / 12  не равно 1 / 3.

                      Почему эта система не имеет решений? Ответ очень простой.

                      Разделив второе уравнение на 3, мы получим:

                                                            

                      Уравнения этой системы противоречивы, потому что одно и то

                      же выражение  2x – 3y  не может быть одновременно равно и 7, и 4.

 

Назад



| | Главная | Об авторах | Ссылки | Связь |

Copyright © 2004 - 2007 Др. Юрий Беренгард.  All rights reserved.