Главная
Обозначения
Шутки
Форум
Об авторах
Ссылки
Связь
Карта сайта
Поиск по сайту
   
  План занятий
 
 Учебное пособие (теория)
Задачи на разные темы
Варианты контрольных
www.bymath.net Учебное пособие - Арифметика Учебное пособие - Алгебра Учебное пособие - Геометрия Учебное пособие - Тригонометрия Учебное пособие - Функции и графики Учебное пособие - Основы анализа Учебное пособие - Множества Учебное пособие - Вероятность Учебное пособие - Аналитическая геометрия Выбор темы задач Выбор варианта контрольной Правила Прайс-лист Регистрация

Степени и корни

 

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

 

  Операции со степенями. 

1.  При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

                                                a m ·  a n  =  a m + n .

2.  При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.

                                                                                        

 

3.  Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

                                                     ( abc ) n = a n · b n · c n

4.  Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

                                                        ( a / b ) na nb n .

5.  При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

                                                           ( a m ) na m n .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

 

П р и м е р .  ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ²  / 15 ²  = 900 / 225 = 4 .

                                                                                                                          

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ   означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

 

1.  Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

 

 

2.  Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

 

 

3.  При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

              

4.  Если увеличить степень корня в n  раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:                                                                                           

                                                                         

 

5.   Если уменьшить степень корня в n  раз и одновременно извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:                                                                                             

                      

                                                                                                                                      

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

                                                                              

Теперь формула  a m : a n = a m - n может быть использована не только при  m , большем, чем  n , но и при  m ,  меньшем, чем  n .  

П р и м е р .   a4 :  a7 = a 4 - 7 = a -3 .

Если мы хотим, чтобы формула  a m : a n = a m - n  была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

 Степень с нулевым показателем.  Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы .  2 0 = 1,   ( 5 ) 0 = 1,   ( 3 / 5 ) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.  Для того, чтобы возвести действительное число а в степень  m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а :

 

                        

 

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

Случай 1. 

     где  a ≠ 0 ,  не существует.

                                          

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

Случай 2. 

      - любое число.

 

 

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

 

Случай 3.


Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

 

    0 0   - любое число.

Действительно, 


Р е ш е н и е .  Рассмотрим три основных случая:

 

                         1)   x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

                               ( Почему? ).         

 

                         2)   при  x > 0  получаем:  x / x = 1,  т.e. 1 = 1, откуда следует,

                               что  x – любое число; но принимая во внимание, что в

                               нашем случае x > 0 , ответом является  x > 0 ; 

 

                         3)   при  x < 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

                                в этом случае нет решения.

                         Таким образом,  x > 0.

Назад



| | Главная | Об авторах | Ссылки | Связь |

Copyright © 2004 - 2012 Др. Юрий Беренгард.  All rights reserved.