|
Вектор –
это направленный
отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости.
Векторы
обычно
обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и
конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку.
Например, вектор, направленный
из точки A
к точке B,
можно обозначить a,
__
Нулевой вектор
0
или
0 - это вектор,
у которого начальная и конечная точки совпадают, т.e.
A
=
B.
Отсюда, 0 = – 0.
Длина (модуль) вектора
a
- это длина отображающего его отрезка
AB,
обозначается | a
|. В частности, | 0
| = 0.
Векторы называются коллинеарными,
если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы
a
и
b
обозначаются
a
||
b.
Три и более векторов называются
компланарными, если они лежат в одной
плоскости.
Сложение векторов.
Так как
векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть
выполнено геометрически. (Алгебраическое сложение
векторов изложено
ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»).
Предположим,
что
__ __
a
= AB and
b
= CD ,
тогда вектор
__ __
a
+ b
= AB + CD
есть результат выполнения двух
операций:
a)
параллельного переноса одногоиз векторов таким образом, чтобы его начальная
точка совпала с конечной точкой второго вектора;
б) геометрического сложения,
т.е. построения результирующего вектора, идущего от начальной точки
неподвижного вектора к конечной точке
перенесённого вектора.
Вычитание векторов.
Эта
операция сводится к предыдущей путём замены вычитаемого вектора на
противоположный: a
–
b
=
a
+
( –
b
) .
Законы сложения.
I.
a
+
b
=
b
+ a
( П е р е м е с т и т е
л ь н ы й закон ).
II.
( a
+
b
) +
c
= a
+ (
b
+ c
) ( С о ч е т а т е л ь н ы й закон
).
III.
a
+ 0
= a
.
IV.
a
+ (–
a
) =
0
.
Законы умножения вектора на
число.
I. 1
·
a
= a
,
0
·
a
= 0 , m
·
0
= 0
, ( –1 )
·
a
= –
a
.
II. m
a =
a
m , | m
a
| = | m |
·
| a |
.
III.
m
( n
a
) = (
m n
) a
.
( С о ч е т а т е л ь н ы й
закон умножения на число ).
IV.
(
m
+ n
) a
=
m
a
+ n
a
,
( Р а с п р е д е л и т
е л ь н ы й
m
(
a
+ b
)
=
m
a
+ m
b
.
закон
умножения на число ).
Скалярное
произведение векторов. __
__
Угол между ненулевыми векторами
AB
и CD
– это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения
точек A
и C.
Скалярным произведением векторов
a
и
b
называется число, равное
произведению их длин на косинус угла между ними:
Если один из векторов
нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением
равно нулю:
( a
, 0
) = (
0 ,
b ) = 0 .
Если оба вектора ненулевые, то косинус
угла между ними вычисляется
по
формуле:
Скалярное произведение
(
a
, a
), равное |
a
|
2,
называется скалярным квадратом. Длина вектора
a
и его скалярный квадрат связаны соотношением:
Скалярное произведение
двух векторов:
- положительно, если угол
между векторами острый ;
- отрицательно, если угол
между векторами тупой .
Скалярное произведение двух
ненулевых векторов равно нулю тогда
и
только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы
перпендикулярны (ортогональны):
Свойства скалярного
произведения. Для любых
векторов a
,
b
, c
и любого числа
m
справедливы следующие соотношения:
I.
( a
,
b
) = (
b
, a
) . ( П е р е м е с т
и т е л ь н ы й закон )
II.
( m
a
,
b
) =
m
(
a
,
b
) .
III.
(
a
+ b
, c
) = (
a
,
c
) + (
b
,
c
).
( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон )
Единичные ортогональные векторы.
В любой прямоугольной
системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы
i,
j и k,
связанные с координатными осями: i
– с осью Х,
j
– с осью
Y
и k
– с осью Z.
В соответствии с этим определением:
( i
, j
) = (
i
, k
) = (
j
, k
) = 0,
| i | = | j | =
| k | =
1.
Любой вектор
a
может быть выражен
через эти векторы единственным образом:
a
=
x
i + y
j +
z
k .
Другая форма записи:
a
= ( x,
y, z ).
Здесь
x,
y,
z
- координаты вектора
a
в этой системе координат. В
соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных
векторов i,
j
,
k
скалярное произведение двух векторов
можно выразить иначе.
Пусть
a
= (
x,
y,
z
);
b
= (
u,
v,
w
).
Тогда (
a , b
) =
xu +
yv +
zw.
Скалярное произведение двух
векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Длина (модуль) вектора
a =
( x,
y,
z
)
равна:
Кроме того, теперь мы получаем
возможность проведения алгебраических операций над векторами, а именно,
сложение и вычитание векторов можетвыполняться
по координатам:
a + b = ( x + u , y + v ,
z + w ) ;
a –
b = ( x
–
u , y –
v , z –
w ) .
Векторное произведение
векторов.
Векторным произведением
[a,
b] векторов
a и
b
( в указанном порядке ) называется вектор:
Существует другая формула длины вектора [
a, b
]
:
/\
| [ a, b ] | = | a | | b
| sin (
a, b )
,
т.e.
длина (
модуль
) векторного произведения
векторов a
и
b
равна
произведению длин ( модулей )
этих векторов на синус угла между ними.
Иначе говоря: длина (
модуль ) вектора [
a,
b
]
численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a
и
b
.
Свойства векторного произведения.
I.
Вектор
[
a,
b
]
перпендикулярен (ортогонален) обоим векторам
a
и
b.
(
Докажите это,
пожалуйста
! ) .
II.
[
a ,
b ] = –
[ b , a ]
.
III.
[
m a ,
b ] =
m [
a , b ] .
IV.
[ a + b , c ] = [
a ,
c ] +
[
b ,
c ] .
V.
[
a ,
[
b , c
]
]
= b
( a
, c ) –
c
( a
, b ) .
VI.
[ [
a ,
b
] , c ]
= b
( a
, c ) –
a
( b
, c ) .
Необходимое и достаточное
условие коллинеарности
векторов
a
= ( x,
y,
z
)
и b
= ( u, v, w ) :
Необходимое и достаточное
условие компланарности
векторов
a
= ( x, y, z ),
b
= ( u, v, w )
и
c
= ( p, q, r ) :
П р и м е р
. Даны векторы:
a
= ( 1, 2, 3 ) и b
= ( – 2 , 0 ,4 ).
Вычислить их
скалярное и векторное произведения и угол
между этими
векторами.
Р е ш е н и е . Используя
соответствующие формулы (см. выше), получим:
a).
скалярное произведение:
( a
, b ) = 1
·
( – 2 ) + 2 ·
0 + 3 ·
4 = 10 ;
б).
векторное произведение:
Назад
|
