Главная
Обозначения
Шутки
Форум
Об авторах
Ссылки
Связь
Карта сайта
Поиск по сайту
   
  План занятий
 
 Учебное пособие (теория)
Задачи на разные темы
Варианты контрольных
www.bymath.net Учебное пособие - Арифметика Учебное пособие - Алгебра Учебное пособие - Геометрия Учебное пособие - Тригонометрия Учебное пособие - Функции и графики Учебное пособие - Основы анализа Учебное пособие - Множества Учебное пособие - Вероятность Учебное пособие - Аналитическая геометрия Выбор темы задач Выбор варианта контрольной Правила Прайс-лист Регистрация

Основы векторного исчисления

 

Вектор. Нулевой вектор. Длина (модуль) вектора.

Коллинеарные векторы. Компланарные векторы.

Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов.

Законы сложения. Законы умножения вектора на число.

Скалярное произведение векторов и его свойства.

Единичные ортогональные векторы.

Векторное произведение векторов и его свойства.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

 

Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости. Векторы обычно  обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку.

Например, вектор, направленный из точки A к точке B, можно обозначить a, 

                                                     __ 

Нулевой вектор  0  или  0 - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, т.e. A = B. Отсюда, 0 =0.

Длина (модуль) вектора  a  - это длина отображающего его отрезка  AB, обозначается | a |. В частности,  | 0 | = 0.

Векторы называются коллинеарными, если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы  a и b  обозначаются  a || b.

Три и более векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

 

Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически. (Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»). Предположим, что

                                                               __                  __ 

                                                      a = AB  and   b = CD , 

тогда вектор                                                     __      __

                                                      b  =  AB + CD

 

есть результат выполнения двух операций:

 

a)  параллельного переноса одногоиз векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;

 

б)  геометрического сложения, т.е. построения результирующего вектора, идущего от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора.

 

 

Вычитание векторов. Эта операция сводится к предыдущей путём замены вычитаемого вектора на противоположный:   a   b  = a + ( b ) .

 

Законы сложения.

 

    I.       a + b  = b + a  ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й   закон ).

    II.   ( a + b ) + c = a + ( b + c )  ( С о ч е т а т е л ь н ы й   закон ).

    III.    a + 0 = a .

    IV.    a + ( a ) = 0 .

 

Законы умножения вектора на число.

 

     I.      1 · a = a ,  0 · a = 0 ,  m · 0 = 0 ,  ( 1 ) · a = a .

     II.     m a = a m ,  | m a | = | m | · | a | .

     III.    m ( n a ) = ( m n ) a .          ( С о ч е т а т е л ь н ы й   

                                                              закон умножения на число ).

     IV.    ( m + n ) a = m an a ,   ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й

            m ( a + b ) = m a + m b .     закон умножения на число ).

 

Скалярное произведение векторов.   __     __

Угол между ненулевыми векторами  AB и CD – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

 

 

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю: 

 

( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

 

Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

 

Скалярное произведение ( a , a ), равное | a | 2, называется скалярным квадратом. Длина вектора  a  и его скалярный квадрат связаны соотношением: 

 

Скалярное произведение двух векторов:

   -  положительно, если угол между векторами острый ;

   -  отрицательно, если угол между векторами тупой .

 

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

 

 

Свойства скалярного произведения. Для любых векторов  a , b , c и любого числа m справедливы следующие соотношения:

 

I.   ( a , b ) = ( b , a ) .          ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й   закон )

II.  ( m a , b ) = m ( a , b ) .

III. ( a + b , c ) = ( a , c ) + ( b , c )( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й   закон )

           

Единичные ортогональные векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы  i,  j и k,  связанные с координатными осями:  i – с осью Х,   j – с осью Y и  k – с осью Z. В соответствии с этим определением:

 

( i , j ) = ( i , k ) = ( j , k ) = 0, 

 

| i | = | j | = | k | = 1.

 

Любой вектор  a  может быть выражен через эти векторы единственным образом:  a x i + y j + z k . Другая форма записи:  a = ( x, y, z ). Здесь x,  y,  z - координаты вектора  a  в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов   ij , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.

Пусть  a = ( x, y, z );  b = ( u, v, w ). Тогда ( a , b ) =  xu + yv + zw.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Длина (модуль) вектора  a = ( x,  y,  z ) равна:


 

Кроме того, теперь мы получаем возможность проведения алгебраических операций над векторами, а именно, сложение и вычитание векторов можетвыполняться по координатам:

a + b = ( x + u , y + v , z + w ) ;

a  b =  ( x u , y  v , z   w ) .

Векторное произведение векторов. Векторным произведением [a, b] векторов  a и b ( в указанном порядке )  называется вектор:


Существует другая формула длины вектора [ a, b ] :

 

                                                         /\

| [ a, b ] | = | a | | b |  sin ( a, b ) ,

 

т.e. длина ( модуль )  векторного произведения векторов  a  и  b  равна произведению длин ( модулей ) этих векторов на синус угла между ними. Иначе говоря: длина ( модуль ) вектора [ a, b ] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах  a и b .

 

Свойства векторного произведения.

 I. Вектор [ a, b ] перпендикулярен (ортогонален) обоим векторам  a и b

    ( Докажите это, пожалуйста ! ) . 

II.  [ a , b ] = [ b , a ] .      

III. [ m a , b ] = m [ a , b ] .

IV. [ a + b , c ] =  [ a , c ] + [ b , c ] .      

V.  [ a , [ b , c ] ] = b ( a , c ) – c ( a , b ) .  

VI. [ [ a , b ] , c ] = b ( a , c ) – ( b , c ) .

 

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  a = ( x, y, z )  и  b = ( u, v, w ) :

  

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов  a = ( x, y, z ),  b = ( u, v, w и  c = ( p, q, r ) :  


П р и м е р .   Даны векторы:  a = ( 1, 2, 3 ) и  b = ( – 2 , 0 ,4 ).

                       Вычислить их скалярное и векторное произведения и угол

                       между этими векторами.

 

Р е ш е н и е . Используя соответствующие формулы (см. выше), получим:

                      a). скалярное произведение:

                   

                                  ( a , b ) = 1 · ( – 2 ) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

                                    б). векторное произведение:             

                                 

           

Назад



| | Главная | Об авторах | Ссылки | Связь |

Copyright © 2004 - 2007 Др. Юрий Беренгард.  All rights reserved.