Главная
Обозначения
Шутки
Форум
Об авторах
Ссылки
Связь
Карта сайта
Поиск по сайту
   
  План занятий
 
 Учебное пособие (теория)
Задачи на разные темы
Варианты контрольных
www.bymath.net Учебное пособие - Арифметика Учебное пособие - Алгебра Учебное пособие - Геометрия Учебное пособие - Тригонометрия Учебное пособие - Функции и графики Учебное пособие - Основы анализа Учебное пособие - Множества Учебное пособие - Вероятность Учебное пособие - Аналитическая геометрия Выбор темы задач Выбор варианта контрольной Правила Прайс-лист Регистрация

Математическая индукция

 

 

    Пусть требуется доказать некоторое свойство ( это может быть формула, тождество, неравенство, утверждение и т.д.), зависящее от     натурального числа  n. Если:

 

    1)  это свойство имеет место для некоторого натурального числа  n0 ,

    2)  из условия справедливости этого свойства  при  n = k  следует его

         справедливость при  n = k + 1  для любого  k n0 ,

 

    то тогда это свойство имеет место для любого натурального  n n0 .

 

    П р и м е р  1.  Доказать, что  1 + 3 + 5 + ... + ( 2n – 1 ) = n 2 .

 

                             Для доказательства применим метод математической индукции.

                             Очевидно, что при  n = 1 данное равенство справедливо. Предположим,

                             что оно справедливо при некотором  k , т.е. имеет место

 

                                                              1 + 3 + 5 + ... + ( 2k – 1 ) = k 2 .

 

                             Докажем, что тогда оно имеет место и при  k + 1 . Рассмотрим

                             соответствующую сумму при  n = k + 1 :

 

                             1 + 3 + 5 + ... + ( 2k – 1 ) + ( 2k + 1 ) = k 2 + ( 2k + 1 ) = ( k  + 1 ) 2 .

 

                             Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при

                             k  вытекает, что оно справедливо и при  k + 1, значит оно справедливо

                             при любом натуральном  n , что и требовалось доказать.



    П р и м е р  2.  См. решение задачи 5.047.

    П р и м е р  3.  См. решение задачи 5.048.

 

Назад



| | Главная | Об авторах | Ссылки | Связь |

Copyright © 2004 - 2007 Др. Юрий Беренгард.  All rights reserved.