Главная
Обозначения
Шутки
Форум
Об авторах
Ссылки
Связь
Карта сайта
Поиск по сайту
   
  План занятий
 
 Учебное пособие (теория)
Задачи на разные темы
Варианты контрольных
www.bymath.net Учебное пособие - Арифметика Учебное пособие - Алгебра Учебное пособие - Геометрия Учебное пособие - Тригонометрия Учебное пособие - Функции и графики Учебное пособие - Основы анализа Учебное пособие - Множества Учебное пособие - Вероятность Учебное пособие - Аналитическая геометрия Выбор темы задач Выбор варианта контрольной Правила Прайс-лист Регистрация

Неравенства: общие сведения

 

Неравенство. Тождественное неравенство.

Строгие и нестрогие неравенства.

Решение неравенств и систем неравенств.

Основные свойства неравенств.

Некоторые важные неравенства.

 

 

Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥), «меньше или равно» (≤) образуют неравенство (числовое или буквенное). Любое справедливое неравенство называется тождественным. Например, тождественны следующие неравенства:   3 · 7 – 20 > 2 · 4 – 10,   a2 ≥ 0,   | – 5 | > 3. (Почему?)
В зависимости от знака неравенства мы имеем либо строгие неравенства ( > , < ), либо нестрогие ( ≥ , ≤ ). Запись 5a ≤ 4 b означает, что 5a либо меньше 4, либо равно ему. Буквенные величины, входящие в неравенство, могут быть как известными, так и неизвестными.
Решить неравенство – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы неравенство было тождественным. Решить систему неравенств – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы все неравенства, входящие в систему, были тождественны одновременно.

 Основные свойства неравенств.


     1. Если  a < b,  то  b > a ;  или если  a > b, то b < a .

     2.

Если  a > b, то  a + c > b + c; или если  a < b, то  a + c < b + c. То есть, можно прибавлять (вычитать) одно и то же число к обеим частям  неравенства.

     3.

Если  a > b и  c > d,  то  a + c > b + d . То есть, неравенства одного смысла (с одинаковым знаком > или < ) можно почленно складывать. Заметим, что неравенства одного смысла нельзя почленно вычитать одно из другого, так как результат может быть неверным.

     4.

Если  a > b и  c < d,  то  ac > bd . Или если  a < b и  c > d,  то a – c < b – d . То есть, неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать одно из другого, и брать знак неравенства, являющегося уменьшаемым.

     5.

Если  a > b и  m > 0, то ma > mb и  a/m > b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Неравенство при этом сохраняет свой знак.

     6.

Если a > b и  m < 0, то ma < mb и  a/m < b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число. Неравенство при этом меняет свой знак на обратный.

 

 

Некоторые важные неравенства.

 

 1.  | a + b | | a | + | b | . Модуль суммы меньше или равен сумме модулей.

             

 2.   a + 1 / 2, ( a – положительно ). Равенство будет только при  a = 1. 

 

( и  b положительны ). Равенство только при  a = b. 

      Среднее геометрическое не больше среднего арифметического.

      В общем случае это неравенство имеет вид: 

                                          

      Числа  a1 ,  a2 , , an  - положительны. Равенство имеет место, если только все числа равны.

Назад



| | Главная | Об авторах | Ссылки | Связь |

Copyright © 2004 - 2007 Др. Юрий Беренгард.  All rights reserved.