Доказательство и
решение неравенств
Методы доказательства неравенств.
Решение неравенств. Равносильные
неравенства.
Метод
интервалов. Системы неравенств.
Доказательство неравенств.
Существует несколько
методов доказательства
неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства:
где
a
–
положительное число.
1).
Использование известного или ранее доказанного неравенства.
Известно, что
( a – 1 )²
 0 .
2).
Оценка знака разности между частями неравенства.
Рассмотрим разность между левой и правой частью:
более
того, равенство имеет место только при
a
=
1 .
3).
Доказательство от противного.
Предположим противное:
Умножая обе части неравенства на
a
, получим: a
2
+ 1 < 2a,
т.e.
a
2
+ 1 – 2a
< 0 , или ( a
– 1 )
2
< 0, что неверно. (
Почему ? ) .
Полученное противоречие
доказывает справедливость
рассматриваемого неравенства.
4). Метод
неопределённого неравенства.
Неравенство называется
неопределённым, если у него знак \/
или /\ ,
т.е. когда мы не знаем в какую сторону
следует повернуть этот знак,
чтобы получить справедливое
неравенство.
Здесь действуют те же правила, что
и с обычными неравенствами.
Рассмотрим неопределённое неравенство:
Умножая обе части неравенства на
a
, получим: a
2
+ 1 \/ 2a,
т.e.
а
2
+ 1 – 2a
\/ 0 , или ( a
– 1 )
2
\/ 0 , но
здесь мы уже знаем, как повернуть
знак \/ , чтобы получить
верное неравенство ( Как? ). Поворачивая его
в нужном направлении по
всей цепочке неравенств снизу вверх, мы
получим требуемое неравенство.
Решение неравенств.
Два неравенства, содержащие одни и
те же неизвестные, называются равносильными, если они
справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных. Такое же
определение используется для равносильности двух систем неравенств. Решение
неравенств - это процесс перехода от одного неравенства к другому, равносильному
неравенству. Для этого используются основные свойства неравенств (см.
параграф “Неравенства: общие сведения”). Кроме того, может быть использована
замена любого выражения другим, тождественным данному. Неравенства могут быть
алгебраические (
содержащие
только многочлены
) и трансцендентные (
например, логарифмические или
тригонометрические
). Мы рассмотрим здесь один очень важный метод,
используемый часто при решении алгебраических неравенств.
Метод интервалов.
Решить неравенство: (
x
– 3 )(
x
– 5 ) < 2(
x
– 3 ).
Здесь нельзя делить обе части
неравенства на ( x
– 3 ), так как мы не
знаем знака этого двучлена (
он содержит неизвестное
x
). Поэтому мы перенесём
все члены неравенства в левую
часть:
(
x
– 3 )(
x
– 5 ) – 2(
x
– 3 ) < 0 ,
разложим её на множители:
(
x
– 3 )(
x
– 5 – 2 ) < 0 ,
и получим: (
x
– 3 )(
x
– 7 ) < 0. Теперь определим знак
произведения в левой части неравенства в различных числовых интервалах. Заметим,
что x
= 3
и
x
= 7 - корни этого выражения.
Поэтому вся числовая ось разделится этими
корнями на следующие три интервала:
В
интервале
I
(
x
<
3
)
оба
сомножителя
отрицательны,
следовательно,
их
произведение положительно; в
интервале
II
(
3
<
x
<
7
)
первый множитель
(
x
–
3
)
положителен,
а
второй
(
x
–
7
)
отрицателен,
поэтому
их
произведение отрицательно; в интервале
III
(
x
>
7
)
оба
сомножителя
положительны,
следовательно,
их
произведение также положительно. Теперь остаётся выбрать интервал, в
котором наше произведение отрицательно. Это интервал
II,
следовательно, решение неравенства:
3
<
x
<
7.
Последнее выражение
-
так
называемое
двойное
неравенство.
Оно означает, что
x
должен
быть одновременно больше 3 и меньше 7.
П р и м е р . Решить следующее
неравенство методом интервалов:
(
x
– 1 )( x
– 2 )( x
– 3 ) … ( x –100 ) > 0 .
Р е ш е н и е . Корни левой части
неравенства очевидны: 1, 2, 3, …, 100.
Они разбивают числовую ось на 101 интервал:
Так как количество скобок в
левой части чётно (равно
100), то
при
x
< 1, когда все множители отрицательны, их произведение
положительно.
При переходе через корень происходит смена
знака
произведения. Поэтому следующим интервалом, внутри
которого
произведение положительно, будет ( 2, 3 ), затем ( 4, 5 ),
затем ( 6, 7
), … , ( 98, 99 ) и наконец,
x
>100.
Таким образом,
данное неравенство имеет решение:
x
< 1, 2 <
x
< 3, 4
< x
< 5 ,…,
x
>100.
Итак,
чтобы решить алгебраическое
неравенство,
надо перенести все его
члены в левую (или
правую) часть и решить
соответствующее уравнение.
После
этого найденные корни нанести
на числовую ось; в результате она разбивается на некоторое число интервалов. На
последнем этапе решения нужно определить, какой знак имеет многочлен внутри
каждого из этих интервалов, и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком
решаемого неравенства.
Заметим, что большинство
трансцендентных неравенств заменой неизвестного приводятся к алгебраическому
неравенству. Его надо решить относительно нового неизвестного, а затем путём
обратной замены найти решение для исходного неравенства.
Системы неравенств.
Чтобы решить систему неравенств,
необходимо решить каждое из них, и совместить их решения. Это совмещение
приводит к
одному из двух возможных случаев: либо
система имеет решение, либо нет.
П р и
м е р 1. Решить систему неравенств:
Р е ш е н и е. Решение первого
неравенства: x
< 4 ; а второго: x
> 6.
Таким образом,
эта система неравенств не имеет решения.
( Почему ? )
П р и
м е р 2. Решить систему неравенств:
Р е ш е н и е. Первое неравенство,
как и прежде, даёт: x
< 4; но решение
второго
неравенства в данном примере: x
> 1.
Таким образом, решение системы неравенств: 1 <
x
< 4.
Назад
|
