Главная
Обозначения
Шутки
Форум
Об авторах
Ссылки
Связь
Карта сайта
Поиск по сайту
   
  План занятий
 
 Учебное пособие (теория)
Задачи на разные темы
Варианты контрольных
www.bymath.net Учебное пособие - Арифметика Учебное пособие - Алгебра Учебное пособие - Геометрия Учебное пособие - Тригонометрия Учебное пособие - Функции и графики Учебное пособие - Основы анализа Учебное пособие - Множества Учебное пособие - Вероятность Учебное пособие - Аналитическая геометрия Выбор темы задач Выбор варианта контрольной Правила Прайс-лист Регистрация

Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

 

Криволинейная трапеция. Определённый интеграл.

Пределы интегрирования. Подынтегральное

выражение. Формула Ньютона Лейбница.

 

 

Рассмотрим непрерывную функцию  y = f ( x ), заданную на отрезке [ a, b ] и сохраняющую на этом отрезке свой знак ( рис.8 ).
Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [ a, b ] и прямыми  x = a и x = b, называется криволинейной трапецией.
Для вычисления площадей криволинейных трапеций используется следующая теорема:

 

Если f – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [a, b], и F – её первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a, b], т.e.

Рассмотрим функцию S ( x ), заданную на отрезке [ a, b ]. Если a<x b, то S ( x ) площадь части криволинейной трапеции, лежащей слева от вертикальной прямой, проходящей через точку ( x, 0 ). Отметим, что если   x = a ,  то  S ( a ) = 0, а  S ( b ) = S  ( S площадь всей криволинейной трапеции). Можно доказать, что

                       

т.e. S ( x ) – первообразная для  f ( x ). Отсюда, согласно основному свойству первообразных, для всех  x [ a, b ]  имеем:

 

S ( x ) = F ( x ) + C ,

 

где C – некоторая постоянная,  F – одна из первообразных функции  f .

Чтобы найти C , подставим  x = a :

 

F ( a ) + C = S ( a ) = 0,

 

отсюда, C = -F ( a ) и  S ( x ) = F ( x ) - F ( a ). Так как площадь криволинейной трапеции равна  S ( b ) , то подставляя  x = b , получим:

 

S = S ( b ) = F ( b ) - F ( a ).

 

П р и м е р .  Найти площадь фигуры, ограниченной кривой  y = x2 и прямыми

                       y = 0,  x = 1,  x = 2  ( рис.9 ) .

Определённый интеграл. Рассмотрим другой способ вычисления площади криволинейной трапеции. Разделим отрезок [ a, b ] на  n  отрезков равной длины точками:

 

x0 = a <  x1 <  x2 <  x3 < …<  x n - 1 <  xn = b

 

и пусть  = ( ba ) / n = xk  - xk - 1 где   k = 1,  2, …,  n – 1,  n .

В каждом из отрезков [ xk- 1 , xk ] как на основании построим прямоугольник высотой f ( xk - 1 ). Площадь этого прямоугольника равна:

             
Ввиду непрерывности функции f (x) объединение построенных прямоугольников при большом n ( т.e. при малом "почти совпадает" с нашей криволинейной трапецией ). Поэтому,  Sn S при больших значениях  n . Это значит, что Sn S  при  n . Этот предел называется интегралом функции  f ( x ) от  a  до  b  или  определённым интегралом :

Числа  a  и  b  называются пределами интегрированияf ( x ) dxподынтегральным выражением.

Итак, если  f ( x ) 0 на отрезке [ a, b ], то площадь S соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

Формула Ньютона - Лейбница. Сравнивая две формулы для площади криволинейной трапеции, приходим к следующему заключению: если F ( x ) - первообразная функции f ( x ) на отрезке [ a, b ], то

 

Это и есть знаменитая формула Ньютона – Лейбница. Она справедлива для любой функции  f ( x ), непрерывной на отрезке  [ a, b ] .

Р е ш е н и е.   Используя таблицу интегралов элементарных функций

                         ( см. выше ), получим:

 

 

Назад



| | Главная | Об авторах | Ссылки | Связь |

Copyright © 2004 - 2012 Др. Юрий Беренгард.  All rights reserved.