Главная
Обозначения
Шутки
Форум
Об авторах
Ссылки
Связь
Карта сайта
Поиск по сайту
   
  План занятий
 
 Учебное пособие (теория)
Задачи на разные темы
Варианты контрольных
www.bymath.net Учебное пособие - Арифметика Учебное пособие - Алгебра Учебное пособие - Геометрия Учебное пособие - Тригонометрия Учебное пособие - Функции и графики Учебное пособие - Основы анализа Учебное пособие - Множества Учебное пособие - Вероятность Учебное пособие - Аналитическая геометрия Выбор темы задач Выбор варианта контрольной Правила Прайс-лист Регистрация

Методы интегрирования

 

  Интегрирование по частям.

  Интегрирование подстановкой ( замена переменной ).

 

Интегрирование по частям. Если функции  u ( x )  и  v ( x ) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл v ( x ) du ( x ), то существует и интеграл u ( x ) dv ( x ) и имеет место равенство:

u ( x ) dv ( x ) = u ( x ) v ( x ) – v ( x ) du ( x )

или в более короткой форме:

u dv = u v v du .

 

Обратите внимание, что интегрирование по частям и дифференциал произведения являются взаимно обратными операциями (проверьте!).

П р и м е р .

Найти интеграл: ln x dx .
Р е ш е н и е. Предположим u = ln x и dv = dx, тогда du = dx/x и v = x. Используя формулу интегрирования по частям, получим:

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Если функция  f ( z ) определена и имеет первообразную при  z Z ,  а  функция  z = g ( x ) имеет непрерывную производную при  x X  и её область значений  g ( X ) Z , то функция  F ( x ) =  f  [ g ( x )] × g' ( x ) имеет первообразную на  Х  и

F ( x ) dx = f [ g ( x )] g' ( x ) dx = f ( z ) dz .

П р и м е р . Найти интеграл: .
Р е ш е н и е. Чтобы избавиться от квадратного корня, положим  ,  тогда  x = u2 + 3  и, следовательно,  dx = 2u du. Делая подстановку, имеем:

Назад



| | Главная | Об авторах | Ссылки | Связь |

Copyright © 2004 - 2012 Др. Юрий Беренгард.  All rights reserved.