Главная
Обозначения
Шутки
Форум
Об авторах
Ссылки
Связь
Карта сайта
Поиск по сайту
   
  План занятий
 
 Учебное пособие (теория)
Задачи на разные темы
Варианты контрольных
www.bymath.net Учебное пособие - Арифметика Учебное пособие - Алгебра Учебное пособие - Геометрия Учебное пособие - Тригонометрия Учебное пособие - Функции и графики Учебное пособие - Основы анализа Учебное пособие - Множества Учебное пособие - Вероятность Учебное пособие - Аналитическая геометрия Выбор темы задач Выбор варианта контрольной Правила Прайс-лист Регистрация

Графическое решение неравенств

Приближённое решение неравенств.

Графическое решение неравенств с одним неизвестным.

Графическое решение систем неравенств с двумя неизвестными.

Пересечение решений.

 

 

Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным, необходимо перенести все его члены в одну часть, т.e. привести к виду:

 

f ( x ) > 0 , 

и построить график функции  y = f ( x ). После этого, используя построенный график, можно найти нули функции (см. выше), которые разделят ось  Х  на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы  x, внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции:  a  и  b ( рис.30 ). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых  f ( x ) > 0:  x < a  и  x > b ( они выделены жирными стрелками ). Ясно, что знак  >  здесь условный; вместо него может быть любой другой:  < , , .

Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т.e. привести неравенства к виду:

и построить графики функций  y = f ( x ),  y = g ( x ) , ... ,  y = h ( x ). Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т.e. их общую часть.

П р и м е р .   Решить графически систему неравенств:

                                                

Р е ш е н и е .  Сначала построим графики функций  y = - 2 / 3 x + 2  и  

                          y = x2 -1  ( рис.31 ):

 

 

Решением первого неравенства является интервал  x > 3, обозначенный на рис.31 чёрной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов:  x < -1  и  x > 1, обозначенных на рис.31 серыми стрелками.

Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал  x > 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.

 

Чтобы решить графически систему двух неравенств сдвумя неизвестными, надо:     

      1)  в каждом из них перенести все члены в одну часть, т.e. привести

           неравенства к виду:

                                                     

2)  построить графики функций, заданных неявно:  f ( x, y ) = 0 и g ( x, y ) = 0;

3)  каждый их этих графиков делит координатную плоскость на две части: 

     в одной из них неравенство справедливо, в другой – нет; чтобы решить 

     графически каждое из этих неравенств, достаточно проверить

     справедливость неравенства в одной произвольной точке внутри любой

     части плоскости; если неравенство имеет место в этой точке, значит

     эта часть координатной плоскости является его решением, если нет – то

     решением является противоположная часть плоскости;

4)  решением заданной системы неравенств является пересечение

     (общая область) частей координатной плоскости.

 

П р и м е р .  Решить систему неравенств:

                                                      

Р е ш е н и е .  Сначала строим графики линейных функций:  5x – 7y = -11 и

                         2x + 3y = 10 ( рис.32 ). Для каждой из них находим полуплоскость,

                         внутри которой соответствующее заданное неравенство 

                         справедливо. Мы знаем, что достаточно проверить справедливость

                         неравенства в одной произвольной точке области; в данном

                         случае легче всего использовать для этого начало координат O ( 0, 0 ).

                             Подставляя его координаты в наши неравенства вместо  x  и  y,

                         получим:  5 · 0 – 7 · 0 = 0 > -11, следовательно, нижняя

                         полуплоскость ( жёлтого цвета ) является решением первого

                         неравенства;  2 · 0 + 3 · 0 = 0 < 10, поэтому второе неравенство

                         имеет своим решением также нижнюю полуплоскость ( голубого

                         цвета ). Пересечение этих полуплоскостей ( область цвета бирюзы )

                         является решением нашей системы неравенств.

                           

Назад



| | Главная | Об авторах | Ссылки | Связь |

Copyright © 2004 - 2007 Др. Юрий Беренгард.  All rights reserved.