Элементарные функции и их графики

Прямая пропорциональность. Линейная функция.

Обратная пропорциональность. Гипербола.

Квадратичная функция. Квадратная парабола.

Степенная функция. Показательная функция.

Логарифмическая функция. Тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

1.	Пропорциональные величины. Если переменные  y  и  x  прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними  выражается уравнением:              y  = k x ,                                                   где  k  - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X  угол , тангенс которого равен  k : tan = k  ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для  k = 1/3,  k = 1 и  k = -3 .
2.	Линейная функция. Если переменные  y и x связаны уравнением 1-ой степени:   A x + B y = C ,                            где по крайней мере одно из чисел  A  или  B  не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.
3.	Обратная пропорциональность. Если переменные  y  и  x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:   y = k / x ,                                                   где  k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью ( о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна  k, что следует из уравнения гиперболы:  xy = k. Основные характеристики и свойства гиперболы:         - область определения функции:  x 0,  область значений:  y 0 ;   - функция монотонная ( убывающая ) при  x < 0 и при  x > 0, но не   монотонная в целом из-за точки разрыва  x = 0 ( подумайте, почему ? );   - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;   - нулей функция не имеет.
4.	Квадратичная функция. Это функция:  y = ax 2 + bx + c, где  a, b, c - постоянные,  a 0. В простейшем случае имеем:  b = c = 0  и   y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы. График функции  y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и  y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами: Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента  a  при  x2 и дискриминанта D: D = b2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая  a > 0, D > 0 .

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

  - область определения функции: - < x < +  ( т.e.  x R ), а область

     значений: … ( ответьте, пожалуйста , на этот вопрос сами ! );

  - функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

     ведёт себя, как монотонная;

  - функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при  b = c = 0,

   и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. ( А что при  D 0 ? ) .

5.	Степенная функция. Это функция:  y = axn, где  a , n – постоянные. При  n = 1 получаем прямую пропорциональность:  y = ax; при  n = 2 - квадратную параболу; при  n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при  n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину:  y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси  Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ). Все эти случаи ( при  a = 1 ) показаны на рис.13  ( n 0 ) и рис.14 ( n < 0 ). Отрицательные значения  x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции: Если  n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли  n  чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции:  для  n = 2  и  n = 3. При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция  y = x 3 называется кубической параболой. На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе  y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция ( об этом говорит и знак  ±  перед квадратным корнем ). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей:  верхнюю или нижнюю.
6.	Показательная функция. Функция   y = ax, где  a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент  x принимает любые действительные значения;  в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция  y = 81x имеет при  x = 1/4 четыре различных значения:  y = 3,  y = -3,  y = 3 i  и  y = -3 i (проверьте, пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только  y = 3. Графики показательной функции для  a = 2  и  a = 1/2  представлены на рис.17. Они проходят через точку  ( 0, 1 ). При  a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При  a > 0 показательная функция возрастает, a при  a < 0 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции: - область определения функции: - < x < +  ( т.e. x R );    область значений:  y > 0 ;    - функция монотонна: возрастает при  a > 0 и убывает при  a < 0;    - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;    - нулей функция не имеет.
7.	Логарифмическая функция. Функция  y = log a x, где  a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график ( рис.18 ) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.  Основные характеристики и свойства логарифмической функции: - область определения функции: x > 0, а область значений: - < y < +      ( т.e.  y R );     - это монотонная функция: она возрастает при  a > 0 и убывает при  a < 0;     - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;     - у функции есть один ноль:  x = 1.
8.	Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция  y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.   График функции  y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика  y = sin x  вдоль оси Х  влево на /2. Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций: - область определения: - < x < + ; область значений:  -1   y +1;     - эти функции периодические: их период 2 ; - функции ограниченные  ( | y | 1 ), всюду непрерывные, не монотонные, но     имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они      ведут себя, как монотонные функции ( см. графики рис.19 и рис.20 ); - функции имеют бесчисленное множество нулей ( подробнее см. раздел     «Тригонометрические уравнения» ).   Графики функций  y = tan x  и  y = cot x  показаны соответственно на рис.21 и рис.22             Из графиков видно, что эти функции: периодические ( их период ),       неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности       ( какие? ), разрывные ( какие точки разрыва имеют эти функции? ). Область             определения и область значений этих функций:
9.	Обратные тригонометрические функции. Определения обратных   тригонометрических функций и их основные свойства приведены в  одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся  лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных   поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го  координатного угла.

Функции  y = Arcsin x ( рис.23 ) и  y = Arccos x ( рис.24 ) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно:  -1   x +1  и - < y < + . Поскольку эти функции многозначные, не

рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения:  y = arcsin x  и   y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

Функции  y = arcsin x  и  y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения:  -1   x +1 ;

  их области значений:  -/2   y /2  для  y = arcsin x  и  0   y для  y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

   ( y = arcsin x – возрастающая функция;  y = arccos x – убывающая );

- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0  у функции  y = arcsin x и

   x = 1  у функции  y = arccos x).