Решение косоугольных треугольников

Случай 1.

Заданы три стороны  a, b, c . Найти углы A, B, C.  По теореме косинусов находим один из углов: второй угол находим по теореме синусов: третий угол находится по формуле:  C = 180° – ( A + B ).

П р и м е р .	Заданы три стороны треугольника:  a = 2,  b = 3,  c = 4.  Найти его углы.
Р е ш е н и е .

Случай 2.

Дано: две стороны  a  и  b и угол C между ними. Найти сторону  c и углы  A и B.  По теореме косинусов находим сторону  c : c 2   =  a 2 +  b 2 - 2 ab · cos C ; а затем по теореме синусов – угол  A :   здесь необходимо подчеркнуть, что  A – острый угол, если  b / a > cos C, и тупой угол, если  b / a < cos C. Третий угол  B = 180° - ( A + C ).

Случай 3.

Заданы любые два угла и сторона. Найти третий угол и две другие стороны. Очевидно, что третий угол вычисляется по формуле:  A+ B+ C = 180°, и тогда используя теорему синусов, мы найдём две другие стороны.

Случай 4.

Даны две стороны  a  и  b  и угол  B, противоположный одной из них. Найти сторону  c и углы  A  и  C. Сначала по теореме синусов найдём угол A: Здесь возможны следующие случаи:    1)   a > b ;  a · sin B > b  –  здесь решения нет;     2)   a > b ;  a · sin B = b  –  здесь одно решение,  A – прямой угол;     3)   a > b ;  a · sin B < b < a  –  здесь два решения:  A  может быть либо острым, либо тупым углом;     4)   a   b  –  здесь одно решение,  A – острый угол.    После нахождения угла A, найдём третий угол: C = 180° - ( A+ B ). Если A может иметь два значения, то и  C может иметь два значения. Теперь по теореме синусов можно найти третью сторону: Если угол  C имеет два значения, то и сторона  c  имеет два значения, следовательно, заданным условиям удовлетворяют два различных треугольника.

П р и м е р .	Дано:  a = 5, b = 3,  B = 30°. Найти сторону  c и углы A и C.
Р е ш е н и е .	Здесь: a > b  и  a sin B < b. ( Проверьте, пожалуйста! ).Тогда согласно случаю 3 здесь возможны два решения:

Назад