Главная
Обозначения
Шутки
Форум
Об авторах
Ссылки
Связь
Карта сайта
Поиск по сайту
   
  План занятий
 
 Учебное пособие (теория)
Задачи на разные темы
Варианты контрольных
www.bymath.net Учебное пособие - Арифметика Учебное пособие - Алгебра Учебное пособие - Геометрия Учебное пособие - Тригонометрия Учебное пособие - Функции и графики Учебное пособие - Основы анализа Учебное пособие - Множества Учебное пособие - Вероятность Учебное пособие - Аналитическая геометрия Выбор темы задач Выбор варианта контрольной Правила Прайс-лист Регистрация

Тригонометрические уравнения. Основные методы решений

 

Тригонометрические уравнения.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений.

 

 

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим

 

Простейшие тригонометрические уравнения.

 







 

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

 

1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры

   ( метод замены переменной и подстановки ).

  

2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.

 

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

 

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

 

                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,

 

                               преобразуем и разложим на множители выражение в

                               левой части уравнения:

                             

    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

 

    Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x sin 2 xcos 2 x = 0 ,

 

                                            sin x · cos x sin 2 x = 0 ,

 

                                            sin x · ( cos x sin x ) = 0 ,

                              

    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x cos 8x + cos 6x = 1. 

     Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

 

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

 

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

    

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

                           

3.

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

 

   а)  перенести все его члены в левую часть;

   б)  вынести все общие множители за скобки;

   в)  приравнять все множители и скобки нулю;

   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 

        cos ( или sin ) в старшей степени; 

   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan

 

    П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

 

    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

 

                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

 

                             tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,

 

                             корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда

                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,

                              

 

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

 

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 

    Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

 

                                           a sin x + b cos x = c ,

 

    где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

 

 

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

    

    П р и м е рРешить уравнение:  2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.

 

    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

 

                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

 

                                                 cos 8x = 0 ,

 

                                                 8x = p / 2 + pk ,

 

                                                 x = p / 16 + pk / 8 .

 

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

                                                                                                                                             

      П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .

  

                              

                             Таким образом, решение даёт только первый случай.

 

Назад



| | Главная | Об авторах | Ссылки | Связь |

Copyright © 2004 - 2012 Др. Юрий Беренгард.  All rights reserved.