Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции
Вторая производная. Выпуклая и вогнутая функция.
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Точка перегиба.
Вторая производная. Если производная f ' ( x ) функции f ( x ) дифференцируема в точке ( x 0 ), то её производная называется второй производной функции f ( x ) в точке ( x 0 ), и обозначается f '' ( x 0 ) .
Функция
f
(
x
) называется
выпуклой
на интервале (
a
,
b
), если её график на этом
интервале лежит
ниже
касательной, проведенной к
кривой
y
=
f
(
x
) в любой точке (
x
0
,
f
(
x
0
) ),
x
0
(
a
,
b
).
Функция
f
(
x
) называется
вогнутой
на интервале (
a
,
b
), если её график на этом
интервале лежит
выше
касательной, проведенной к
кривой
y
=
f
(
x
) в любой точке (
x
0
,
f
(
x
0
) ),
x
0
(
a
,
b
).
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a , b ), тогда:
если
f
''
(
x
)
>
0 для любого
x
(
a
,
b
),
то
функция
f
(
x
) является
вогнутой
на
интервале (
a
,
b
);
если
f
''
(
x
)
<
0 для любого
x
(
a
,
b
),
то
функция
f
(
x
) является
выпуклой
на
интервале (
a
,
b
)
.
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба . Отсюда следует, что если в точке перегиба x 0 существует вторая производная f '' ( x 0 ), то f '' ( x 0 ) = 0.
П р и м е р . |
Рассмотрим график функции
y
=
x
3
:
![]() Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y '' = 6 x , но 6 x > 0 при x > 0 и 6 x < 0 при x < 0, следовательно, y '' > 0 при x > 0 и y '' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x 3 . |