Интеграл с переменным верхним пределом
Пусть
на отрезке [
a
,
b
] задана непрерывная функция
f
(
x
),
тогда для любого
x
[
a
,
b
]
существует функция:
задаваемая интегралом с переменным верхним пределом , стоящим в правой части равенства.
На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.
| П р и м е р . |
Переменная сила на прямолинейном пути изменяется по закону:
f ( x ) = 6 x 2 + 5 при x 
0.
По какому закону изменяется работа этой силы ?
|
| Р е ш е н и е . |
Работа силы
f
(
x
) на
отрезке [
0
,
x
]
прямолинейного
пути
равна
:
Таким образом, работа изменяется по закону: F ( x ) = 2 x 3 + 5 x . |
Из определения
интеграла с переменным верхним пределом
- функции
F
(
x
) и известных свойств интеграла следует, что
при
x
[
a
,
b
]
F ' ( x ) = f ( x ) .
Проверьте это свойство на приведенном примере.