Операции над множествами
Обозначение множеств и их элементов. Равенство множеств.
Подмножество ( включение ). Сумма ( объединение ) множеств.
Произведение ( пересечение ) множеств. Разность ( дополнение )
множеств. Симметричная разность множеств. Свойства
операций над множествами.
Множества обозначаются заглавными латинскими
буквами, а их элементы – строчными. Запись
a
R
означает, что элемент
а
принадлежит множеству
R
, то есть
а
является элементом множества
R
. В противном случае, когда
а
не принадлежит множеству
R
, пишут
a
R
.
Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .
Говорят, что множество
А
содержится в
множестве
В
(
рис.1
) или
множество
А
является
подмножеством
множества
В
(
в
этом случае пишут
А
В
),
если каждый элемент множества
А
одновременно является элементом множества
В
. Эта зависимость между множествами называется
включением
.
Для любого множества
А
имеют место включения:
А
и
А
А
.
Сумма (
объединение
) множеств
А
и
В
(
пишется
А
В
) есть множество элементов, каждый из
которых принадлежит либо
А
, либо
В
. Таким образом,
е
А
В
тогда и только тогда, когда либо
е
А
,
либо
е
В
.
Произведение (
пересечение
) множеств
А
и
В
(
пишется
А
В
, рис.2 )
есть множество
элементов, каждый из которых принадлежит и
А
, и
В
. Таким образом,
е
А
В
тогда и только
тогда, когда
е
А
и
е
В
.
Разность множеств А и В ( пишется А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В . Это множе ство называется также дополнением множества В относительно множества А .
Симметричная разность множеств А и В ( пишется А \ В ) есть множество:
А
\
В
=
(
А
–
В
)
(
В
–
А
).
Свойства операций над множествами:
П р и м е р ы. 1. Множество детей является подмножеством всего населения.
2. Пересечением множества целых чисел с множеством поло-
жительных чисел является множество натуральных чисел.
3. Объединением множества рациональных чисел с множест-
вом иррациональных чисел является множество действи-
тельных чисел.
4. Нуль является дополнением множества натуральных чисел
относительно множества неотрицательных целых чисел.